Question

13．已知在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
（Ⅰ）求sinA-cosA的值；
（Ⅱ）求$\frac{{5{{sin}^2}A+sin（A-\frac{π}{2}）cos（A+\frac{3π}{2}）-5{{cos}^2}A}}{sinAcosA}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）两边平方解得$sinAcosA=-\frac{2}{5}$，即可解得范围$A∈（\frac{π}{2}，π）$，由（sinA+cosA）²+（sinA-cosA）²=2，即可解得sinA-cosA的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$sinAcosA=-\frac{2}{5}$，利用诱导公式即可求值．

解答 解：（Ⅰ）∵A∈（0，π），$sinA+cosA=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴可得：$sinAcosA=-\frac{2}{5}$，可得：$A∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴（sinA+cosA）²+（sinA-cosA）²=2，
∴$sinA-cosA=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：$sinAcosA=-\frac{2}{5}$，
∴$原式=\frac{5（sinA+cosA）（sinA-cosA）-sinAcosA}{sinAcosA}=-\frac{17}{2}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识是考查．