题目内容
如图,为圆的直径,点、在圆上,,矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直.已知,.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,平面与平面所成的锐二面角的大小为?
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,平面与平面所成的锐二面角的大小为?
(Ⅰ)如下(Ⅱ)(Ⅲ)
试题分析:(I)证明:平面平面,,
平面平面=,
平面.
平面,,
又为圆的直径,,
平面.
平面,平面平面.
(II)根据(Ⅰ)的证明,有平面,
为在平面内的射影,
因此,为直线与平面所成的角
,四边形为等腰梯形,
过点作,交于.,,则.
在中,根据射影定理,得.
,. 与平面所成角的大小为
(Ⅲ)设中点为,以为坐标原点,、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设,则点的坐标为则,又
设平面的法向量为,则,.
即 令,解得,
由(I)可知平面,取平面的一个法向量为,依题意 与的夹角为
,即,解得
因此,当的长为时,平面与平面所成的锐二面角的大小为.
点评:直线与平面平行、垂直的判定定理是常考知识点。另求二面角时,一般是结合向量来求解。
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