题目内容

【题目】已知向量=4cos2-),cosx+sinx),=sinxcosx-sinx),设fx=-1

1)求满足|fx|≤1的实数x的集合;

2)若函数φx=[f2x+tfx-tf-x]-1+)在[-]上的最大值为2,求实数t的值.

【答案】(1) {x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z}.(2) t=-2或6.

【解析】

(1)由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、诱导公式,化简可得,再由正弦函数的图象可得所求集合;

(2)化简,由换元法和二次函数在闭区间上的最值求法,可得所求最大值,解方程可得所求值.

(1)由题意,向量(4cos2(-),cosx+sinx),(sinx,cosx-sinx),

则f(x)=4sinxcos2(-)+(cosx+sinx)(cosx-sinx)-1

=2sinx(1+cos(x-))+cos2x-sin2x-1=1-cos2x+cos2x+2sinx-1=2sinx,

|f(x)|1,即为2|sinx|1,即- sinx

可得kπ- xkπ+,k∈Z,

则满足|f(x)|1的实数x的集合为{x|kπ- xkπ+,k∈Z};

(2)由题意,函数

=[2sin2x+2tsinx-2tcosx]-(1+),

可令u=sinx-cosx=sin(x-),x∈[-],即有x-∈[-],

可得u∈[-,1],

sin2x=1-u2,g(u)=1-u2+ut-1-=-(u-t)2+-t,

t>1即t>2时,g(u)max=g(1)=t-1,由g(1)=2,可得t=6;

当-t≤1,即-2≤t≤2时,则g(t)=-t,

-t=2,解得t=-2(4舍去);

t<-,即t<-2时,g(u)max=g(-)=-2-t-t,

由-2-t-t=2,可得t=-(舍去).

综上可得t=-2或6.

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