题目内容
【题目】已知椭圆的左、右两个焦点分别为
,离心率
,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆上的一动点(非长轴端点),
的延长线与椭圆交于
点,
的延长线与椭圆交于
点,若
面积为
,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
或
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意得,再由
椭圆的方程为
;(Ⅱ)①当直线
斜率不存在时,不妨取
面积为
,不符合题意. ②当直线
斜率存在时,设直线
, 由
得
,再求点
的直线
的距离
点
到直线
的距离为
面积为
∴
或
所求方程为
或
.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得,∴
,
∵,∴
,
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)①当直线斜率不存在时,不妨取
,
∴面积为
,不符合题意.
②当直线斜率存在时,设直线
,
由化简得
,
设,
∴
,
∵点的直线
的距离
,
又是线段
的中点,∴点
到直线
的距离为
,
∴面积为
,
∴,∴
,∴
,∴
或
,
∴直线的方程为
或
.
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若,且
,证明:
.
【答案】(1)的单调增区间为
,单调减区间为
,函数
在
处取得极大值
,且
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间以及极值(2)为极值点偏移问题,先构造函数,
,根据导数可得
单调性,即得
,最后根据
单调性得
,即证得结论
试题解析:(Ⅰ)由,
易得的单调增区间为
,单调减区间为
,
函数在
处取得极大值
,且
(Ⅱ)由,
,不妨设
,则必有
,
构造函数,
,
则
,所以
在
上单调递增,
,也即
对
恒成立.
由,则
,
所以
,
即,又因为
,
,且
在
上单调递减,
所以,即证
.
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