Question

【题目】已知f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1， ∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣a2=（x﹣a）（3x+a），
当a＜0时，x∈（﹣∞，a）和（﹣ ，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x∈（a，﹣ ）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a＞0时，x∈（﹣∞，﹣ ）和（a+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x∈（﹣ ，a）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当a=0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）R上递增．
（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，
∴f'（x）≠﹣1，
∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣a2≠﹣1恒成立，
∴3x2﹣2ax﹣a2+1≠0恒成立，
∴3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，
∴△=4a2﹣12（﹣a2+1）＜0，
∴﹣ ＜a＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出导函数，对参数a进行分类讨论得出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出导函数，不问题转化为3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，利用判别式求解即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．