Question

3．已知函数f（x）=2cos²（ωx+$\frac{π}{12}$）（其中?＞0，x∈R）的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果α∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（α）=$\frac{8}{5}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于$\frac{2π}{ω}$=2π，求得ω的值．
（Ⅱ）有条件求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，可得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，再根据cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，利用两角差的余弦公式，计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）∵已知函数f（x）=2cos²（ωx+$\frac{π}{12}$）=cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=2π，
∴ω=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由于α∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（α）=cos（α+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{8}{5}$，∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，两角差的余弦公式，属于基础题．