Question

2．已知f（θ）=$\frac{1}{2}$cos2θ-2mcosθ+4m-$\frac{3}{2}$（m，θ∈R）．
（1）当m=2时，求f（θ）的最值；
（2）若对一切实数θ，关于θ的不等式$\frac{1}{2}$cos2θ-2mcosθ+4m-$\frac{3}{2}$＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=2时，由三角函数中的恒等变换应用化简可得f（θ）=（cosθ-2）²+2，由余弦函数的有界性即可讨论f（θ）的最值；
（2）根据已知条件，等价转化成cos²θ-2mcosθ+4m-2＞0恒成立，然后，换元法t=cosθ，-1≤t≤1，设函数g（t）=t²-2mt+4m-2，对其对称轴进行讨论可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵当m=2时，f（θ）=$\frac{1}{2}$cos2θ-4cosθ+$\frac{13}{2}$=$\frac{1}{2}$（2cos²θ-1）-4cosθ+$\frac{13}{2}$=cos²θ-4cosθ+6=（cosθ-2）²+2，
∴当cosθ=-1时，f（θ）_max=11，当cosθ=1时，f（θ）_min=3．
（2）若对一切实数θ，关于θ的不等式$\frac{1}{2}$cos2θ-2mcosθ+4m-$\frac{3}{2}$＞0恒成立，
即cos²θ-2mcosθ+4m-2＞0恒成立，
由θ∈R，则-1≤cosθ≤1，
设t=cosθ，则-1≤t≤1，
设g（t）=t²-2mt+4m-2，-1≤t≤1，
则函数关于t=m对称，
（1）当m≤-2时，g（t）在t∈[-1，1]上为增函数，
则g（t）_min=g（-2）=8m+2＞0，
得m＞-$\frac{1}{4}$，与题设不符，舍；
（2）当-2＜m＜2时，g（t）min=g（m）=-m²+4m-2＞0，
得2-$\sqrt{2}$＜m＜2+$\sqrt{2}$，
所以2-$\sqrt{2}$＜m＜2；
（3）当m≥2时，g（t）在t∈[-1，1]上为减函数，
则g（t）_min=g（2）=2＞0，成立．
综上，m＞2-$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了三角公式、同角三角函数基本关系式中的平方关系、二次函数等知识的综合运用，属于中档题，重点考查了分类讨论思想在解题中应用，解题关键是准确把握讨论的“类”，做到不重不漏．