Question

当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______．

Answer 1

法一：根据题意，构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=-

m

2

≤

3

2

时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．
②同理当-

m

2

＞

3

2

时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使 x∈（1，2）时f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立
即

f(1)≤0 f(2)≤0

解得

m≤-4 m≤-5

即 m≤-5
故答案为 m≤-5