Question

当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：①构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．②讨论 对称轴x=-

m

2

＞

3

2

或-

m

2

＜

3

2

时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围

解答：解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=-

m

2

≤

3

2

时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．
②同理当-

m

2

＞

3

2

时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使 x∈（1，2）时f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立
即

f(1)≤0 f(2)≤0

解得

m≤-4 m≤-5

即 m≤-5
故答案为 m≤-5

点评：本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题．