Question

已知f（x）=x²+（a-3）x+a．
（1）对于?x∈R，f（x）＞0总成立，求a的取值范围；
（2）当x∈（-1，2）时f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于?x∈R，f（x）＞0总成立，等价于△=（a-3）²-4a＜0，即可求得a的取值范围；
（2）当x∈（-1，2）时f（x）＞0恒成立，等价于x²+（a-3）x+a＞0对x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，进一步可转化为a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5，利用基本不等式，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵对于?x∈R，f（x）＞0总成立，
∴△=（a-3）²-4a＜0，解得1＜a＜9；
（2）当x∈（-1，2）时f（x）＞0恒成立，等价于x²+（a-3）x+a＞0对x∈（-1，2）恒成立，即a（x+1）＞3x-x²，
∵x∈（-1，2），∴x+1∈（0，3）
∴a＞

3x-x2

x+1

=-（x+1）-

4

x+1

+5
∵x+1∈（0，3）时，（x+1）+

4

x+1

的最小值为4
∴a＞-4+5=1
即a＞1．

点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查基本不等式求最值，属于中档题．