题目内容

在R上可导的函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则
b-2
a-1
的取值范围是(  )
A、(
1
4
,1)
B、(
1
2
,1)
C、(-
1
2
1
4
)
D、(
1
4
1
2
)
分析:由题意知f′(x)=x2+ax+2b,结合题设条件由此可以导出
b-2
a-1
的取值范围.
解答:解:∵f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c
,∴f′(x)=x2+ax+2b,
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2),(x1<x2
则x1+x2=-a,x1x2=2b,
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值,x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1,1<x2<2,
∴1<-a<3,0<2b<2,-3<a<-1,0<b<1.∴-2<b-2<-1,-4<a-1<-2,
1
4
b-2
a-1
<1

故选A.
点评:本题考查导数和导数的应用,解题时要注意等价命题的合理转换.
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