题目内容
在R上可导的函数f(x)=
x3+
ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则
的取值范围是( )
1 |
3 |
1 |
2 |
b-2 |
a-1 |
A、(
| ||||
B、(
| ||||
C、(-
| ||||
D、(
|
分析:由题意知f′(x)=x2+ax+2b,结合题设条件由此可以导出
的取值范围.
b-2 |
a-1 |
解答:解:∵f(x)=
x3+
ax2+2bx+c,∴f′(x)=x2+ax+2b,
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2),(x1<x2)
则x1+x2=-a,x1x2=2b,
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值,x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1,1<x2<2,
∴1<-a<3,0<2b<2,-3<a<-1,0<b<1.∴-2<b-2<-1,-4<a-1<-2,
∴
<
<1,
故选A.
1 |
3 |
1 |
2 |
设x2+ax+2b=(x-x1)(x-x2),(x1<x2)
则x1+x2=-a,x1x2=2b,
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值,x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1,1<x2<2,
∴1<-a<3,0<2b<2,-3<a<-1,0<b<1.∴-2<b-2<-1,-4<a-1<-2,
∴
1 |
4 |
b-2 |
a-1 |
故选A.
点评:本题考查导数和导数的应用,解题时要注意等价命题的合理转换.

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