题目内容
【题目】(1)已知a,b,N都是正数,a≠1,b≠1,证明对数换底公式:logaN=;
(2)写出对数换底公式的一个性质(不用证明),并举例应用这个性质.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)设且,化为指数式,两边取对数可得,化简代入即可得出结果;(2)或.
(1)设logaN=x,则N=ax.
两边同时取b为底对数,得logbN=logbax.
由对数运算性质,得logbN=xlogba.
因为a≠1,所以logba≠0,所以x=,于是logaN=.
或者:因为alogaN=N,两边同时取b为底对数,得logbalogaN=logbN.
由对数运算性质,得logaNlogba=logbN.
因为a≠1,所以logba≠0,所以logaN=.
(2)对数换底公式性质(i):logaNlogba=logbN.
例如log23log38=log28=3.
对数换底公式性质(ii):logablogba=1.
例如+=log102+log105=log1010=1.
对数换底公式性质(iii):logNn=logaN.
例如log2781=log34=log33=.
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