题目内容
【题目】已知.
(Ⅰ)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数在区间
上的最大值为
,最小值为
,令
,求
的解析式及其最小值(注:
为自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
,1.
【解析】
(Ⅰ)由复合函数的单调性得函数在
上单调递增,则
,解出即可;
(Ⅱ)由题意得,设
,则
,
,再分类讨论即可得到
,再根据函数
的单调性即可求出最小值.
解:(Ⅰ)∵函数在
上单调递增,
函数在
上单调递增,,
∴函数在
上单调递增,
∴,解得
,
∴实数的取值范围是
;
(Ⅱ)∵,∴
,设
,
则,
,
①当时,函数
在
上单调递增,
∴最大值,最小值
,
∴;
②当时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴最大值,最小值
,
∴;
③当时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴最大值,最小值
,
∴;
④当时,函数
在
上单调递减,
∴最大值,最小值
,
∴;
综上,,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
当时,
取最小值1.
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