Question

（2012•长宁区一模）已知数列{a_n}中，a1=1，anan+1=2n(n∈N*)
（1）求证数列{a_n}不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设数列{a_n}的前2n项和为S_2n，若3（1-ka_2n）≤S_2n•a_2n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用a1=1，anan+1=2n(n∈N*)，可得a₂=2，a₃=2，利用等比数列的定义，可得数列{a_n}不是等比数列，进而有

an+2

an

=2，可得奇数项与偶数项分别组成等比数列，从而可得该数列的通项公式；
（2）分n为偶数与奇数，分别求和，即可得到结论；
（3）计算S_2n=3（2ⁿ-1），a2n=2n，将不等式变形，再利用分离参数法，利用单调性，即可确定k的最小值．

解答：（1）证明：∵a1=1，anan+1=2n(n∈N*)，∴a₂=2，a₃=2，
∵

a2

a1

≠

a3

a2

，
∴数列{a_n}不是等比数列；…（2分）
∵anan+1=2n(n∈N*)，∴

an+2

an

=2
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…，及a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…成等比数列，公比为2，
∵a₁=1，a₂=2
∴a_n=

2 n-1 2 ，n为奇数 2 n 2 ，n为偶数

…（6分）
（2）解：S_n=a₁+a₂+…+a_n，
当n为偶数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=

1-2 n 2

1-2

+

2(1-2 n 2 )

1-2

=3(2

n

2

-1)；…（8分）
当n为奇数时，S_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=

1-2 n+1 2

1-2

+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=2×2

n+1

2

-3．…（10分）
因此，S_n=

2×2 n+1 2 -3，n为奇数 3(2 n 2 -1)，n为偶数

…（12分）
（3）解：S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-2n

1-2

+

2(1-2n)

1-2

=3(2n-1)．       …（13分）
由（1）知，a2n=2n，…（14分）
因此不等式为  3（1-k×2ⁿ）≤3（2ⁿ-1）2ⁿ，
∴k≥

1-(2n-1)2n

2n

，即k≥

1

2n

-（2ⁿ-1），
∴k≥（

1

2n

-2ⁿ+1）_max，…（16分）
∵F（n）=

1

2n

-（2ⁿ-1）单调递减，∴F（1）=-0.5最大，
∴k≥-0.5，即k的最小值为-

1

2

．…（18分）

点评：本题考查等比数列的定义，考查数列的通项与求和，考查不等式恒成立问题，恰当分类，分离参数是关键．