Question

已知函数f（x）=

1

x

+3，数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a

2 n+1

=

1

f( a 2 n )

（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列（

1

a 2 n

）为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足b_n•

(1-n) a 2 n +n

a 2 n

=2ⁿ，若b_n≥m对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an+12=

1

f(an2)

，得an+12=

1

1 an2 +3

，由此能证明数列{

1

an2

}是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an2

=1+3（n-1），由此能求出an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）由bn=

2n

3n2-3n+1

，得b_n+1-b_n=

2n(3n2-9n+1)

(3n2+3n+1)(3n2-3n+1)

，由此能求出b_n≥m对任意的正整数n恒成立，只需m≤

8

19

．

解答： （Ⅰ）证明：由an+12=

1

f(an2)

，得an+12=

1

1 an2 +3

，
∴

1

an+12

=

1

an2

+3，a_n＞0，
又

1

a12

=1，∴数列{

1

an2

}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

1

an2

=1+3（n-1），
即an2=

1

3n-2

，
∵a_n＞0，∴an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）解：∵

(1-n)an2+n

an2

=1-n+n•

1

an2

=1-n+n•（3n-2）
=3n²-3n+1，
∴b_n=

2n

3n2-3n+1

=3n²-3n+1，
∴bn=

2n

3n2-3n+1

，
b_n+1-b_n=

2n+1

3(n+1)2-3(n+1)+1

-

2n

3n2-3n+1

=

2n(3n2-9n+1)

(3n2+3n+1)(3n2-3n+1)

，
∵n∈N^*，∴2ⁿ＞0，3n²+3n+1＞0，3n²-3n+1=3n（n-1）+1＞0，
令3n²-9n+1≤0，得

9- 69

6

≤n≤

9+ 69

6

，
而0＜

9- 69

6

＜1，2＜

9+ 69

6

＜3，
即当1≤n≤2时，b_n＞b_n+1，
当n≥3时，b_n＜b_n+1，
∴当n=3时，（b_n）_min=b3=

8

19

，
∴b_n≥m对任意的正整数n恒成立，只需m≤

8

19

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．