Question

已知直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的圆周长，则

1

a

+

2

b

的最小值为（　　）

• A、4

  2

• B、3+2

  2

• C、4
• D、6

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,直线与圆的位置关系

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：利用直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆周，可得圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出

1

a

+

2

b

的最小值．

解答： 解：由题意，圆的圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上
∴-2a-2b+2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1
∴

1

a

+

2

b

=（a+b）（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a • 2a b

=3+2

2

，当且仅当

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

时，

1

a

+

2

b

的最小值为3+2

2

．
故选：B．

点评：本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．