题目内容
（2012•海淀区二模）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
投资A项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：
且X1的数学期望E（X1）=12；
投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：
（1）求a，b的值；
（2）求X2的分布列；
（3）若E（X1）＜E（X2），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．
投资A项目一年后获得的利润X1（万元）的概率分布列如下表所示：
| X1 | 11 | 12 | 17 |
| P | a | 0.4 | b |
投资B项目一年后获得的利润X2（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X2的关系如下表所示：
| X（次） | 0 | 1 | 2 |
| X2（万元） | 4.12 | 11.76 | 20.40 |
（2）求X2的分布列；
（3）若E（X1）＜E（X2），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．
分析：（1）由题意得：
由此能求出a，b的值．
（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．分别求出P（X2=4.12），P（X2=11.76），P（X2=20.40），由此能求出X2的分布列．
（3）由（2）求出E（X2）=-p2+p+11.76．因为E（X1）＜E（X2），所以12＜-p2+p+11.76．由此能求出当选择投资B项目时，p的取值范围．
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（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．分别求出P（X2=4.12），P（X2=11.76），P（X2=20.40），由此能求出X2的分布列．
（3）由（2）求出E（X2）=-p2+p+11.76．因为E（X1）＜E（X2），所以12＜-p2+p+11.76．由此能求出当选择投资B项目时，p的取值范围．
解答：解：（1）由题意得：
解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X2=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2，…（7分）
P（X2=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X2的分布列为：
…（9分）
（3）由（2）可得：E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)
=-p2+p+11.76．…（11分）
因为E（X1）＜E（X2），
所以12＜-p2+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
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解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X2的可能取值为4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X2=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2，…（7分）
P（X2=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X2的分布列为：
| X2 | 4.12 | 11.76 | 20.40 |
| P | p （1-p） | p2+（1-p）2 | p （1-p） |
（3）由（2）可得：E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)
=-p2+p+11.76．…（11分）
因为E（X1）＜E（X2），
所以12＜-p2+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
当选择投资B项目时，p的取值范围是（0.4，0.6）．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是中档题．在历年高考中都是必考题型，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用．
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