题目内容
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=
,PB⊥PD,
(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且
=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD。

(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅲ)设点M在棱PC上,且


解:∵PO⊥平面ABCD, ∴PO⊥BD, 又 ![]() 由平面几何知识得: ![]() (Ⅰ)过D作DE∥BC交AB于E,连结PE, 则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角, ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴ ![]() ∴ ![]() 又AB∥DC, ∴四边形EBCD是平行四边形。 ∴ ![]() ∴E是AB的中点,且 ![]() 又 ![]() ∴△PEA为直角三角形, ∴ ![]() 在△PED中,由余弦定理得 ![]() 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为 ![]() (Ⅱ)连结OE,由(Ⅰ)及三垂线定理知, ∠PEO为二面角P-AB-C的平面角, ∴ ![]() ∴ ![]() ∴二面角P-AB-C的大小为45°。 (Ⅲ)连结MD,MB,MO, ![]() ![]() ∵PC⊥OM, 又在Rt△POC中, ![]() ∴ ![]() ∴ ![]() 故λ=2时,PC⊥平面BMD。 |
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