题目内容

定议在上的单调函数满足,且对任意都有
(1)求证:为奇函数;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.

(1)详见解析:(2).

解析试题分析:(1)赋值法求解,再寻找之间的关系;(2)先研究函数的单调性,再利用奇偶性化为,即对任意的恒成立,再转化为二次函数知识求解.本题考查了恒成立问题以及化归与转化思想.
试题解析:(1)证明:
,代入①式,得
,代入①式,得,又
则有对任意成立,
所以是奇函数.                             4分
(2)解:,即,又上是单调函数,
所以上是增函数.
又由(1)是奇函数.
对任意成立.
,问题等价于对任意恒成立.         8分
其对称轴.
时,即时,,符合题意;
时,对任意恒成立
解得                          12分
综上所述当时,对任意恒成立.
考点:1.函数奇偶性的证明;2.二次函数恒成立问题;3.化归与转化思想.

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