Question

11．已知二次函数f（x）=x²-mx+m-1（m∈R）．
（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；
（2）函数在区间[-1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．

Answer 1

分析 （1）结合二次函数的图象和性质，分析对称轴和区间[3，+∞）的关系，可得m的取值范围；
（2）用对称轴和区间[-1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．

解答 解：（1）f（x）=x²-mx+m-1=（x-$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$+m-1，对称轴为x=$\frac{m}{2}$．
若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，
则$\frac{m}{2}$≤3，
解得：m≤6；
（2）①若$\frac{m}{2}$＜-1，即m＜-2，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（-1）=2m．
②若-1≤$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2，此时当x=$\frac{m}{2}$时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{4}$+m-1．
③若$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2，此时函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．
综上g（m）=$\left\{\begin{array}{l}2m，m＜-2\\-\frac{{m}^{2}}{4}+m-1，-2≤m≤2\\ 0，m＞2\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．