题目内容

【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为(﹣2,0),离心率为

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l过点S(4,0),与椭圆C交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为P′,P′与Q两点的连线交x轴于点T,当△PQT的面积最大时,求直线l的方程.

【答案】
(1)解:由题意可得 ,可得c=1,b= =

即有椭圆的方程为 + =1;


(2)解:设直线l的方程为x=my+4,P(x1,y1),Q(x2,y2),则P'(x1,﹣y1),

联立 得(4+3m2)y2+24my+36=0,

则△=(24m)2﹣144(4+3m2)=144(m2﹣4)>0,即m2>4.

又y1+y2=﹣ ,y1y2=

直线PQ的方程为y= (x﹣x1)﹣y1

则xT= =

= = +4=1,

则T(1,0),故|ST|=3

所以SPQT=SSQT﹣SSPT= |y1﹣y2|= =

令t= >0,

则SPQT= = =

当且仅当t2= 即m2= 即m=± 时取到“=”,

故所求直线l的方程为x=± y+4.


【解析】(1)运用椭圆的离心率公式和顶点坐标,以及a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆方程;(2)设直线l的方程为x=my+4,P(x1 , y1),Q(x2 , y2),则P'(x1 , ﹣y1),联立直线和椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,求得直线PQ的方程,令y=0,可得T的横坐标,化简可得T(1,0),由SPQT=SSQT﹣SSPT= |y1﹣y2|,运用韦达定理,由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值,以及此时直线的方程.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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