题目内容

对于函数f(x)，若存在x0∈R, 使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的“滞点”.

已知函数f（x）=,

（1）试问f(x)有无“滞点”？若有求之，否则说明理由;

（2）已知数列{an}的各项均为负数，且满足4Sn·f()=1,求数列{an}的通项公式；

（3）已知bn=an·2n,求{bn}的前n项和Tn.

解：（1）由f(x)=,令f(x)=x,得x2-2x=0,解得x=0,或x=2,

∴f(x)存在两个滞点0和2.

（2）由题意得4Sn·（）2=2（-1），

∴2Sn=an-an2.①

故2Sn+1=an+1-a n+12.②

由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2,

∴(an+1+an)(an+1 -an+1)=0，

∴an＜0,∴an+1-an=-1, 即{an}是等差数列，且d=-1.当n=1时，由2S1=a1-a12=2a1

得a1=-1,∴an=-n,

（3）∵Tn=-1·2-2·22-3·23-…-n·2n,③

∴2Tn=-1·22-2·23-3·24-…-（n-1）·2n-n·2n+1,④

由④-③得Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1.

练习册系列答案
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（08年黄冈中学一模理） (本小题满分14分)对于函数f(x)，若存在，使成立，则称x0为f(x)的不动点. 如果函数有且仅有两个不动点0，2，且

（1）试求函数f(x)的单调区间；

（2）已知各项不为零且不为1的数列{an}满足，求证：；

（3）设，为数列{bn}的前n项和，求证：

       对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范围．

对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f(x)的“等域区间”.

（1）布林函数的等域区间是         .

（2）若函数是布林函数，则实数k的取值范围是           .

 

(本小题满分6分）对于函数f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋bx-b有不动点(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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