Question

20．在三棱锥P-ABC中，PA=a，AB=AC=$\sqrt{2}$a，∠PAB=∠PAC=45°，∠PBC=60°，设D是线段AB上异于A，B的任意一点，DE⊥PB于点E．
（1）求证：AP∥平面DEC；
（2）若D是线段AB的中点，求二面角E-DC-B的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理，只要判断PA∥DE；
（2）可以判断EB，EC，ED两两垂直，建立坐标系，利用两个平面的法向量夹角求平面的二面角．

解答 解：（1）△PAB中，由余弦定理得PB=a，∴PA⊥PB，
又∵DE⊥PB，∴PA∥DE，
∵PA?平面DEC，DE?平面DEC，
∴PA∥平面DEC；
（2）因为D是线段AB的中点，由（1）得到DE∥AP，
所以DE⊥PB，并且E为PB的中点，
所以CE⊥PB，
所以PB⊥平面DEC，又PA⊥PB，PA⊥PC，
所以PA⊥平面PBC，CE?平面PBC，
所以PA⊥CE，
所以以E为原点，EB，EC，ED分别为x，y，z轴建立坐标系，
则E（0，0，0），B（$\frac{a}{2}$，0，0）C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），P（$-\frac{a}{2}$，0，0），D（0，0，$\frac{a}{2}$），A（$-\frac{a}{2}$，0，a），
则平面DEC的一个法向量为（1，0，0），设平面DCB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{DC}=（0，\frac{\sqrt{3}}{2}a，-\frac{a}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（\frac{a}{2}，0，-\frac{a}{2}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}ay-\frac{az}{2}=0}\\{\frac{ax}{2}-\frac{az}{2}=0}\end{array}\right.$，令x=z=1，则$\overrightarrow{n}=（1，\frac{\sqrt{3}}{3}，1）$，
所以cosθ=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以二面角E-DC-B的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用空间向量求二面角的平面角；属于中档题．