Question

8．已知动点M到点（4，0）的距离比它到直线l：x=-3的距离多1．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）求过点（4，0）且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义即可求动点M的轨迹C的方程；
（2）求出直线方程，联立直线和抛物线方程，转化为一元二次方程，利用弦长公式进行求解即可．

解答 解：（1）由题意易知，动点M到点（4，0）的距离与到直线x=-4的距离相等，
故M点的轨迹为以（4，0）为焦点，x=-4为准线的抛物线，
此抛物线方程为y²=16x．
（2）设直线与抛物线交点为A，B，直线AB方程为y-0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-4），
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
将直线方程与抛物线方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{{y}^{2}=16x}\end{array}\right.$，
得x²-56x+16=0，
故x_A+x_B=56，x_Ax_B=16，
|AB|=x_A+x_B+p=56+8=64．

点评 本题主要考查抛物线的定义的应用，利用联立方程组，结合一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．