题目内容
定义在上的函数同时满足以下条件:
①在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②是偶函数;
③在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数=的解析式;
(2)设g(x)=,若存在实数x∈[1,e],使<,求实数m的取值范围..
(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)利用已知条件可知f′(x)=3ax2+2bx+c中b=0,且f′(1)=3a+2b+c=0,另外根据条件③知f′(0)=c=-1,从而能够求出a,b,c的值;(2)对于恒成立求参数m的取值范围,可以利用分离参数法,得到m>xlnx-x3+x,构造函数M(x)=xlnx-x3+x,通过两次求导,得到M(x)在[1,e]上递减,且M(x)的最小值为2e-e3,故m>2e-e3.
试题解析:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(1)=3a+2b+c=0①
由f′(x)是偶函数得:b=0②
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f′(0)=c=-1③
由①②③得:a=,b=0,c=-1,即f(x)=x3-x+3.
(2)由已知得:存在实数x∈[1,e],使lnx-<x2-1
即存在x∈[1,e],使m>xlnx-x3+x
设M(x)=xlnx-x3+x x∈[1,e],则M′(x)=lnx-3x2+2
设H(x)=lnx-3x2+2,则H′(x)=-6x=
∵x∈[1,e],∴H′(x)<0,即H(x)在[1,e]上递减
于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤-1<0,即M′(x)<0
∴M(x)在[1,e]上递减,∴M(x)≥M(e)=2e-e3
于是有m>2e-e3为所求.
考点:1.函数的奇偶性与利用导函数求最值;2.恒成立求参数取值范围问题.