题目内容

定义在上的函数同时满足以下条件:

(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

是偶函数;

x0处的切线与直线yx2垂直.

(1)求函数的解析式;

(2)g(x),若存在实数x[1e],使<,求实数m的取值范围..

 

【答案】

1;(2.

【解析】

试题分析:(1)利用已知条件可知f′(x)3ax22bxcb0,且f′(1)3a2bc0,另外根据条件③知f′(0)c=-1,从而能够求出abc的值;(2)对于恒成立求参数m的取值范围,可以利用分离参数法,得到m>xlnxx3x,构造函数M(x)xlnxx3x,通过两次求导,得到M(x)[1e]上递减,且M(x)的最小值为2ee3,故m>2ee3.

试题解析:(1f′(x)3ax22bxcf(x)(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

f′(1)3a2bc0

f′(x)是偶函数得:b0

f(x)x0处的切线与直线yx2垂直,f′(0)c=-1

①②③得:ab0c=-1,即f(x)x3x3.

2由已知得:存在实数x[1e],使lnx<x21

即存在x[1e],使m>xlnxx3x

M(x)xlnxx3x x[1e],则M′(x)lnx3x22

H(x)lnx3x22,则H′(x)6x

x[1e]H′(x)<0,即H(x)[1e]上递减

于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤1<0,即M′(x)<0

M(x)[1e]上递减,M(x)≥M(e)2ee3

于是有m>2ee3为所求.

考点:1.函数的奇偶性与利用导函数求最值;2.恒成立求参数取值范围问题.

 

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