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如图,在直三棱柱ABC A
1
B
1
C
1
中,AC=4,CB=2,AA
1
=2,∠ACB=60°,E、F分别是A
1
C
1
,BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB
1
C
1
C;
(2)证明:C
1
F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P B
1
C
1
F的体积.
试题答案
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(1) (2)见解析 (3)
(1)证明 在△ABC中,∵AC=2BC=4,∠ACB=60°,由余弦定理得:
∴AB=2
,∴AB
2
+BC
2
=AC
2
,
∴AB⊥BC,
由已知AB⊥BB
1
,又BB
1
∩BC=B,∴AB⊥面BB
1
C
1
C,
又∵AB?面ABE,∴平面ABE⊥平面BB
1
C
1
C.
(2)证明 取AC的中点M,连接C
1
M,FM
在△ABC,FM∥AB,而FM?平面ABE,AB?平面ABE,
∴直线FM∥平面ABE
在矩形ACC
1
A
1
中,E,M都是中点,∴C
1
E綉AM,四边形AMC
1
B是平面四边形,∴C
1
M∥AE
而C
1
M?平面ABE,AE?平面ABE,∴直线C
1
M∥ABE
又∵C
1
M∩FM=M,∴平面ABE∥平面FMC
1
,而CF
1
?平面FMC
1
,
故C
1
F∥平面AEB.
(3)解 取B
1
C
1
的中点H,连接EH,则EH∥A
1
B
1
,所以EH∥AB且EH=
AB=
,
由(1)得AB⊥面BB
1
C
1
C,∴EH⊥面BB
1
C
1
C,
∵P是BE的中点,
∴VPB
1
C
1
F=
VEB
1
C
1
F=
×
S△B
1
C
1
F·EH=
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如图,在四棱锥
中,
底面
,底面
是平行四边形,
,
是
的中点。
(1)求证:
;
(2)求证:
;
(3)若
,求二面角
的余弦值.
已知一个四棱锥
P
-
ABCD
的三视图(正视图与侧视图为直角三角形,俯视图是带有一条对角线的正方形)如图,
E
是侧棱
PC
的中点.
(1)求四棱锥
P
-
ABCD
的体积;
(2)求证:平面
APC
⊥平面
BDE
.
如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
若一个正三棱柱的三视图如下所示,则该三棱柱的体积为( )
A.
B.
C.
D.8
某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是( )
A.5
B.2
C.
D.
一空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
已知某几何体的三视图(单位: cm)如右图所示,则该几何体的体积是
。
一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,则这个几何体的体积为
.
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