Question

2．【选修4-5：不等式选讲】
已知a、b∈R⁺，f（x）=|x-a|-|2x+$\frac{2}{b}$|．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（x）的最大值为5，求$\frac{1}{a}$+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，求出相应的范围，即可求f（x）的最大值；
（2）由（1）知，a+$\frac{1}{b}$=5，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求$\frac{1}{a}$+b的最小值．

解答 解：（1）x＜-$\frac{1}{b}$时，f（x）=a-x+2x+$\frac{2}{b}$=x+a+$\frac{2}{b}$＜a+$\frac{1}{b}$；
-$\frac{1}{b}$≤x≤a时，f（x）=a-x-2x-$\frac{2}{b}$=-3x+a-$\frac{2}{b}$∈[-2a-$\frac{2}{b}$，a+$\frac{1}{b}$]；
x＞a时，f（x）=x-a-2x-$\frac{2}{b}$=-x-a-$\frac{2}{b}$＜-2a-$\frac{2}{b}$
∴f（x）的最大值为a+$\frac{1}{b}$；
（2）由（1）知，a+$\frac{1}{b}$=5，
∴$\frac{1}{a}$+b=$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{a}$+b）（a+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{5}$（2+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）≥$\frac{1}{5}$×（2+2）=$\frac{4}{5}$，
当且仅当a=b时，$\frac{1}{a}$+b的最小值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的应用，正确求出f（x）的最大值是关键．