题目内容
已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=3，且c=
，a=2，求b的值．
解析：（1）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=
（1-cos2x）+sin2x+
（1+cos2x）=sin（2x+
）+2，
由2kπ-
≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-
≤x≤kπ+
，
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（C）=sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=
，∴C=．
由c=，a=2 以及正弦定理得：
，解得 sinA=1，A=，故 B=C=，
故 b=c=．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x+）+2，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．
（2）在△ABC中，由f（C）=3 求得sin（2C+）=，由此求得C的值，再由正弦定理求得 sinA=1，可得A的值，可得 B=C=，可得b=c．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，复合三角函数的单调性，属于中档题．
（1-cos2x）+sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+2，由2kπ-
≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ+]，k∈z．（2）在△ABC中，∵f（C）=
sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=，∴C=．由c=
，a=2 以及正弦定理得：，解得 sinA=1，A=，故 B=C=，故 b=c=
．分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为
sin（2x+）+2，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．（2）在△ABC中，由f（C）=3 求得sin（2C+
）=，由此求得C的值，再由正弦定理求得 sinA=1，可得A的值，可得 B=C=，可得b=c．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，复合三角函数的单调性，属于中档题．
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