题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在点
处的切线平行于直线
,求切点
的坐标及此切线方程;
(2)求证:当时,
;(其中
)
(3)确定非负实数的取值范围,使得
,
成立.
【答案】(1)点,切线方程为
;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)根据函数在某点导数的几何意义,可得切线的斜率以及点,然后可得结果.
(2)构建新的函数,通过导数判断新函数的单调性,并计算新函数的最值,可得结果.
(3)构建函数,采用分类讨论
与
,并利用导数判断函数
的单调性,可得结果.
(1)由,则
由题可知:
所以切线方程为,点
(2)当时,
则在
恒成立
即在
恒成立
令
所以
令或
(舍)
当时,
当时,
所以可知在
递增,在
递减
且,
所以在中,
故可知
所以当时,
(3)由,
成立
则在
恒成立
令
则
当时,
,
则在
单调递增,所以
所以,
成立
当时,
令,则
或
(舍)
若时,
当时,
所以在
递减,在
递增,
又,所以
,
所以,
不成立
综上所述:
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