Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数的图象与轴相切，求证：对于任意的.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；

【解析】

（1）先对函数进行求导，然后根据实数的取值情况进行讨论，结合导数的正负，判断求解函数的单调性与单调区间；

（2）因为函数的图象与轴相切，由（1）可知，且，可求出，当时，恒成立，为证明对于任意的成立，只要证明即可，令，然后在利用导数在函数最值中的应用，即可证明，由此即可证明不等式成立.

解：（1）函数的定义域是，

当时，，在上单调递减；

当时，，

在上单调递减；

，

在上单调递增.

（2）证明：因为函数的图象与轴相切，设切点为，

，解得，

，

又当时，恒成立，

令，

由，得，

是的最大值，

，

成立.