Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$B+C=\frac{2π}{3}$，$a=\sqrt{2}$，则b²+c²的取值范围是（　　）

• A． （3，6）
• B． （3，6]
• C． （2，4）
• D． （2，4]

Answer 1

分析 根据三角形两边之和大于第三边，可得b²+c²＞2．再根据余弦定理结合基本不等式，可得b²+c²的最大值为4，由此可得b²+c²的取值范围．

解答 解：∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{2}$，
∴根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=2
∴bc=b²+c²-2≤$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$，得b²+c²≤4，
又∵b+c＞a=$\sqrt{2}$，∴b²+c²＞2
综上所述，b²+c²的取值范围为（2，4]．
故选：D．

点评 本题给出三角形一边和它的对角，求另两边的平方和的取值范围，着重考查了余弦定理和基本不等式等知识，属于基础题．