题目内容
已知函数
，其中
，
．
(Ⅰ)若
的最小值为
，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)若函数的极小值大于零，求
的取值范围．
（I）函数的零点个数有3个；(Ⅱ)
解析试题分析：（I）为确定函数零点的个数，可通过研究函数图象的形态、函数的单调性完成，具体遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.
(Ⅱ) 为确定函数的极值，往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.
本小题利用“表解法”，形象直观，易于理解.为使
，
满足
，从而得到.
试题解析：
（I）
， 1分
当
时，有最小值为
，
所以
，即
， 2分
因为，所以
， 3分
所以
，
所以在
上是减函数，在
上是增函数， 4分
而
，
， 5分
故函数的零点个数有3个； 6分
(Ⅱ) 令
，得
， 7分
由知
，根据（I），当
变化时，
的符号及的变化情况如下表：
，其中
.
的单调区间；
是曲线
的切线，求实数
的值；
，求
在区间
上的最小值.（
为自然对数的底数）
且函数
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
，
是大于零的常数． 
时,求
的极值；
上为单调递增，求实数
上存在一点
，使得曲线
，且
成立.
的单调区间；
上有零点，求
的最大值.
.
的单调区间及最大值；
恒成立，试求实数
的取值范围.
＋3
－ax．
＋ax＋1在x≥
时恒成立，试求实数a的取值范围．
，
时，求曲线
在点
处的切线方程；
内至少存在一个实数
，使得
成立，求实数
的取值范围．
函数
.
的单调区间和极值；
时，不等式
恒成立，求
的范围.