题目内容
已知函数,其中,.
(Ⅰ)若的最小值为,试判断函数的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数的极小值大于零,求的取值范围.
(I)函数的零点个数有3个;(Ⅱ)
解析试题分析:(I)为确定函数零点的个数,可通过研究函数图象的形态、函数的单调性完成,具体遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的单调性”等步骤.
(Ⅱ) 为确定函数的极值,往往遵循“求导数、求驻点、分区间讨论导数的正负、确定函数的极值”等步骤.
本小题利用“表解法”,形象直观,易于理解.为使,满足,从而得到.
试题解析:
(I), 1分
当时,有最小值为,
所以,即, 2分
因为,所以, 3分
所以,
所以在上是减函数,在上是增函数, 4分
而,, 5分
故函数的零点个数有3个; 6分
(Ⅱ) 令,得, 7分
由知,根据(I),当变化时,的符号及的变化情况如下表: 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘