Question

【题目】函数、，给定下列命题：（1）不等式的解集为；（2）函数在上单调递增，在上单调递减；（3）若函数有两个极值点，则；（4）若时，总有恒成立，则1.其中正确命题的序号为_________.

Answer 1

【答案】（1）（4）

【解析】

利用导数研究函数的单调性，极值点，结合恒成立问题求参，对选项进行逐一分析即可.

因为、，则，

令，可得，故在该区间上单调递增；

令，可得，故在该区间上单调递减.

又当时，，且，

故的图象如下所示：

（1）数形结合可知，的解集为，故（1）正确；

（2）由上面分析可知，（2）错误；

（3）若函数有两个极值点，

即有两个极值点，又，

要满足题意，则需在有两根，

也即在有两根，也即直线与的图象有两个交点.

数形结合则，解得.

故要满足题意，须得满足，显然（3）是错误的；

（4）若时，总有恒成立，

即恒成立，

构造函数，则对任意的恒成立，

故在单调递增，则在恒成立，

也即在区间恒成立，则，

故（4）正确.

故正确的为（1）（4）.

故答案为：（1）（4）.