Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意知圆的方程为（x-a）²+y²=a²，双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，通过联立方程组，得：c²x²+2a³x=0，由此能求出结果．

解答 解：由题意知圆的方程为（x-a）²+y²=a²，
双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
∵实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，可知劣弧的圆心角为120°，圆心到渐近线的距离为：$\frac{1}{2}a$．
∴$\frac{1}{2}a=\frac{\left|ab\right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，∴3b²=a²=3c²-3a²．
∴e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用．