题目内容
【题目】设函数,其中x>0,k为常数,e为自然对数的底数.
(1)当k≤0时,求的单调区间;
(2)若函数在区间(1,3)上存在两个极值点,求实数k的取值范围;
(3)证明:对任意给定的实数k,存在(),使得在区间(,)上单调递增.
【答案】(1)单调递减区间为(0,3),单调递增区间为;(2);(3)证明见解析。
【解析】
(1)f′(x)=.分别令f′(x)>0,f′(x)<0,解出x的取值范围即可;
(2)函数f(x)在(1,3)内存在两个极值点,有两个实数根.化为,,因此在内存在两个实数根.利用导数研究其单调性极值即可;
(3)令,得,在上单调递增,进而分析可得结果.
,
(1)当时,对任意的都成立.
所以,当时,;当时,,
所以,的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为.
(2)由函数在区间(1,3)上存在两个极值点,得在区间(1,3)上至少有两个解,即在区间(1,3)至少有两个解.
令,,则
所以,当时,;当,,所以在区间(1,2)上单调递减,在区间(2,3)上单调递增.又,,
所以,,且,即.
此时,存在x1∈(1,2), x2∈(2,3)使得
且当x∈(1,x1)时,,当x∈(x1,x2)时,,当x∈(x2,,3),,满足条件.
所以k的取值范围为
(3)令,得,当时,,当且仅当时等号成立,
所以,在上单调递增,
所以,当时,,及,
当时,.
设为3和中较大的数,则当时,,
所以对任意给定的实数,存在,式得在区间上单调递增.
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