题目内容

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(1)请写出的表达式(不需证明);
(2)求的极小值;
(3)设的最大值为的最小值为,求的最小值.

(1);(2);(3).

解析试题分析: (1)依次求出,,,
由此便可猜测出的表达式.
(2)要求的极小值,先求出
可得的单调区间和极值.
(3)配方法可以求出.
由(2)得:,所以.
问题转化为求的最小值.这又有两种方法:
法一、构造函数,通过求导来求它的最小值;法二、通过研究这个数列的单调性来求它的最小值.
试题解析:(1)根据,,,
猜测出的表达式.      4分
(2)求导得:
因为时,;当时,.
所以,当时,取得极小值
.                       8分
(3)将配方得
所以.
又因为,所以,10分
问题转化为求的最小值.
解法1(构造函数):

,又在区间上单调递增,
所以
又因为
所以存在使得
又有在区间上单调递增,所以时,
时,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以
又由于
所以当时,取得最小值
解法2(利用数列的单调性):
因为
时,
所以,所以.
又因为.
所以当时,取得最小值.14分
考点:1、归纳推理;2、导数的应用;3、函数的最值.

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