题目内容
数列{}的前n项和为,.
(Ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)若,数列的前项和,证明:.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)详见解析
解析试题分析:(Ⅰ) 由,令可求,时,利用可得与之间的递推关系,构造等可证等比数列;(Ⅱ) 由(Ⅰ)可求,利用错位相减法可求数列的和;(Ⅲ)由(Ⅱ)进而可求,利用()进行不等式放缩,求数列{}的和即可求证.
试题解析:(Ⅰ)因为,
所以 ① 当时,,则, (1分)
② 当时,, (2分)
所以,即,
所以,而, (3分)
所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以. (4分)
(Ⅱ)由(1)得.
所以 ①,
②, (5分)
②-①得:, (7分)
. (9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 (10分)
(1)当时,成立; (11分)
(2)当时,,, (13分)
所以. (14分)
(本题放缩方法不唯一,请酌情给分)
考点: 1.递推关系;2.等比数列的概念;3.数列求和和不等式放缩.
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