题目内容

数列{}的前n项和为
(Ⅰ)设,证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和
(Ⅲ)若,数列的前项和,证明:

(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)详见解析

解析试题分析:(Ⅰ) 由,令可求时,利用可得之间的递推关系,构造等可证等比数列;(Ⅱ)  由(Ⅰ)可求,利用错位相减法可求数列的和;(Ⅲ)由(Ⅱ)进而可求,利用)进行不等式放缩,求数列{}的和即可求证.
试题解析:(Ⅰ)因为
所以  ① 当时,,则,             (1分)
② 当时,,       (2分)
所以,即
所以,而,             (3分)
所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.   (4分)
(Ⅱ)由(1)得
所以 ①
,               (5分)
②-①得:,                    (7分)
                 .    (9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知                                      (10分)
(1)当时,成立;                      (11分)
(2)当时,,     (13分)
所以.    (14分)
(本题放缩方法不唯一,请酌情给分)
考点: 1.递推关系;2.等比数列的概念;3.数列求和和不等式放缩.

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