已知各项均为正数的数列的前项和为.数列的前项和为.且.⑴证明:数列是等比数列.并写出通项公式,⑵若对恒成立.求的最小值,⑶若成等差数列.求正整数的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项和为，且.
⑴证明：数列是等比数列，并写出通项公式；
⑵若对恒成立，求的最小值；
⑶若成等差数列，求正整数的值.

（1）证明见解析，；（2）3；（3）

解析试题分析：（1）要证数列是等比数列，可根据题设求出，当然也可再求，虽然得出的成等比数列，但前面有限项成等比不能说明所有项都成等比，必须严格证明．一般方法是把已知式中的用代换得到，两式相减得，这个式子中把用代换又得，两式再相减，正好得出数列的前后项关系的递推关系，正是等比数列的表现．（2）由题间，对不等式用分离参数法得，求的最小值就与求的最大值（也只要能是取值范围）联系起来了．（3）只能由成等差数列列出唯一的等式，这个等式是关于的二元方程，它属于不定方程，有无数解，只是由于都是正整数，利用正整数的性质可得出具体的解．
试题解析：（1）当n=1时，；当n=2时，
当n3时，有得：
化简得：3分
又∴
∴是1为首项，为公比的等比数列
6分
（2）
∴∴11分
（3）若三项成等差，则有
，右边为大于2的奇数，左边为偶数或1，不成立
∴16分
考点：（1）等比数列的通项公式；（2）不等式恒成立与函数的最值；（3）不定方程的正整数解问题．

练习册系列答案

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定义:若数列{A_n}满足A_n+1=,则称数列{A_n}为“平方递推数列”.已知数列{a_n}中,a₁=2,点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=2x²+2x的图象上,其中n为正整数.
(1)证明:数列{2a_n+1}是 “平方递推数列”,且数列{lg(2a_n+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为T_n,即T_n=(2a₁+1)(2a₂+1)…(2a_n+1),求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式.

已知数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.

数列{}的前n项和为，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，数列的前项和，证明：．

设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.

设，，数列满足：，.
（Ⅰ）求证数列是等比数列（要指出首项与公比）；
（Ⅱ）求数列的通项公式.

数列的前n项和为,
（I）证明:数列是等比数列；
（Ⅱ）若，数列的前n项和为，求不超过的最大整数的值．

各项均为正数的等比数列中，．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求证：.

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项，…的最小值记为B_n，d_n=A_n－B_n.
(I)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
(II)设d为非负整数，证明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(III)证明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

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