题目内容
【题目】已知函数,设
.
(Ⅰ)求的极小值;
(Ⅱ)若在
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)极小值为;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)求出导函数得到,通过判断导函数
的符号,判断函数
的单调性,求解函数
的极值即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,通过
时和
时,判断函数
的单调性,求解函数
的最值,推出结果即可.
(Ⅰ),
,
由题意可知,所以
,
当时,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,函数
在
上单调递减,
所以函数在
处取得极小值,为
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
当时,
,
所以函数在
上单调递增,所以
,
即当时,
在
恒成立;
当时,
,
又,
又由于在
上单调递增,在
上单调递减.
所以在上一定存在
使得
,
当时,
,当
时,
.
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,
所以在存在
,使得
,
所以当时,
在
上不恒成立
综上所述,实数的取值范围为
.

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