题目内容

已知F₁、F₂是椭圆 $数学公式$ 的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．
（1）若椭圆C的离心率为 $数学公式$ ，且 $数学公式$ 的最大值为8，求椭圆C的方程；
（2）若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

解：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x₀，y₀），可得 $\text{[math]}$ =（-c-x₀，-y₀）， $\text{[math]}$ =（c-x₀，-y₀），
∴ $\text{[math]}$ =（-c-x₀）（c-x₀）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -c²
∵P是椭圆C上的点，满足 $\text{[math]}$ =b²（1- $\text{[math]}$ ），且-a＜x₀＜a
∴ $\text{[math]}$ =（1- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +b²-c²≤（1- $\text{[math]}$ ）•a²+b²-c²=b²
所以，当且仅当 $\text{[math]}$ =a²时， $\text{[math]}$ 的最大值为b²=8，可得b=2 $\text{[math]}$
∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，可得a= $\text{[math]}$ c，b= $\text{[math]}$ c
∴c=2，a=2 $\text{[math]}$ ，椭圆C的方程是 $\text{[math]}$
（2）∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，
∴①点P为直角顶点时，P必定是短轴顶点，
OP= $\text{[math]}$ F₁F₂=c，即b=c， $\text{[math]}$ =c，可得a²=2c²，即a= $\text{[math]}$ c
∴椭圆C的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
②当某焦点是直角顶点时，
2a=PF₁+PF₂=（1+ $\text{[math]}$ ）F₁F₂=（1+ $\text{[math]}$ ）×2c
∴椭圆C的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上所述，该椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ -1或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x₀，y₀），可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -c²，根据P是椭圆C上的点，满足 $\text{[math]}$ =b²（1- $\text{[math]}$ ），且-a＜x₀＜a，所以 $\text{[math]}$ =（1- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ +b²-c²≤b²，当且仅当 $\text{[math]}$ =a²时， $\text{[math]}$ 的最大值为b²=8，根据椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，可算出a²=12，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据△F₁PF₂为等腰三角形，可得点P为直角顶点时，P是短轴顶点；P是锐角顶点时，长轴是焦距的1+ $\text{[math]}$ 倍．由此计算可得椭圆C的离心率．
点评：本题已知椭圆上一点P满足数量积 $\text{[math]}$ 的最大值为8，且离心率已知的情况下求椭圆的方程，着重考查了平面向量的数量积和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．