题目内容

已知函数 $数学公式$ ，a∈R．
（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数 $数学公式$ 在区间（1，2）恰有一个零点，求实数a的取值范围．

解：（1 ）函数f（x）是定义在R上的奇函数有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ∴f（x）是实数集R上的单调递增函数
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即 $\text{[math]}$ 解之得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据定义在R上的奇函数的图象必过原点，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值；
（2）根据已知中函数的解析式 $\text{[math]}$ ，求出其导函数后，易判断f（x）是实数集R上的单调递增函数，则根据零点存在定理，我们可以将函数 $\text{[math]}$ 在区间（1，2）恰有一个零点，转化为一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，及函数零点的判定定理，其中（1）的关键是奇函数的图象必要原点，（2）的关键是判断函数的单调性，进而将问题转化为一个不等式问题．

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（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①

；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

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