Question

7．已知函数f（x）=|x-2|-|2x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）当x∈（-∞，2）时f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，把f（x）表示成分段函数的形式，分类讨论求得不等式f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）分若a=4、若a＞4、若a＜4三种情况，分别求得f（x）的解析式，依据f（x）＜0恒成立，求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=|x-2|-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＜1}\\{-3x+4，1≤x＜2}\\{-x，x≥2}\end{array}\right.$，
不等式f（x）＞0等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞0}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜2}\\{-3x+4＞0}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{-x＞0}\end{array}\right.$③，
解①可得0＜x＜1，解②可得1≤x＜$\frac{4}{3}$，解③可得x∈∅．
故要求的不等式的解集为（0，$\frac{4}{3}$）．
（Ⅱ）∵当x∈（-∞，2）时，f（x）＜0恒成立，故f（x）_max＜0．
若a=4，则f（x）=|x-2|-|2x-4|=-|x-2|=x-2，满足f（x）＜0恒成立．
若a＞4时，f（x）=|x-2|-|2x-a|=2-x-（a-2x）=x+2-a，
故f（x）在（-∞，2）上为增函数，
故f（x）＜f（2）=4-a＜0，满足f（x）＜0恒成立．
若a＜4时，f（x）=|x-2|-|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-a+2，x＜\frac{a}{2}}\\{-3x+a+2，\frac{a}{2}≤x≤2}\\{-x+a-2，x≥2}\end{array}\right.$，
故f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上为增函数，在[$\frac{a}{2}$，2）上为减函数，
故f（x）的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{a}{2}$＞0，不满足f（x）＜0恒成立．
故要求的求a的取值范围[4，+∞）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．