题目内容

10.光线l从点P(1,-3)发出,被直线y=x反射后与圆(x+2)2+(y+5)2=1相切,求反射光线所在直线方程.

分析 由题意易得反射关系的方程为y-1=k(x+3),由直线与圆相切可得k值,验证直线无斜率的情形即可.

解答 解:由对称性易得P(1,-3)关于直线y=x的对称点为P′(-3,1),
问题转化为从点P′射出的光线l′与圆相切,
设l′的斜率为k,则直线方程为y-1=k(x+3),即kx-y+3k+1=0,
又可得圆的圆心为(-2,-5),半径为1,
由点到直线的距离公式可得$\frac{|-2k+5+3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=-$\frac{35}{12}$,
此时直线的方程为y-1=-$\frac{35}{12}$(x+3),即35x+12y-93=0;
当直线l′无斜率时,直线x=-3也满足题意,
∴反射光线所在直线方程为x=-3或35x+12y-93=0

点评 本题考查直线的对称性,涉及直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式,属中档题.

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