Question

（本小题满分13分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切.
（1）求圆C的方程；
（2）设直线：与圆C相交于A、B两点，求实数的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，                     若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）为。(2) 的取值范围是（）；
（3）不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

本试题主要是考查了线与圆的位置关系的综合运用。
（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切. 利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。
（2）因为直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径得到参数a的范围。
（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，从而得到。
解：（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，可设圆心坐标为，由题意可列方
程，解得，所以圆心坐标为（），半径
为，所以圆的方程为。-----------------5分
(2)联立方程，消得，由于直线与圆交于两点，所以，解得，所以的取值范围是（）------8分（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，
所以，解得，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.--------------13分