题目内容
【题目】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上, .若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
【答案】(1) .(2)
.
【解析】试题分析:(1)由四棱柱,证得
,进而得到
,以
为正交基底建立空间直角坐标系,利用向量坐标运算,即可求解
所成角的余弦值;
(2)设,由点
在线段
上,得到
,得出向量
则坐标表示,再求得平面
的一个法向量,利用向量的数量积的运算,即可得到
的值。
试题解析:
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.
又AE平面ABCD,AD平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.
在菱形ABCD中∠ABC=,则△ABC是等边三角形.
因为E是BC中点,所以BC⊥AE.
因为BC∥AD,所以AE⊥AD.
以{,
,
}为正交基底建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),
A1(0,0,2),E(,0,0),F(
,,1).
(1)=(0,2,0),
=(-
,,1),所以
·
=1.
从而cos<,
>=
=
.
故异面直线EF,AD所成角的余弦值为.
(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且=λ,
则=λ
,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).
则M(0,2λ,2-2λ),=(-
,2λ-1,2-2λ).
设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).
因为=(
,0,0),
=(
,,1),
由n·=0,n·
=0,得x0=0, y0+z0=0.
取y0=2,则z0=-1,
则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).
由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】我市2016年11月1日11月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
样本频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
2 | ||
1 | ||
4 | ||
6 | ||
10 | ||
2 |
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)作出频率分布直方图;
(Ⅲ)根据国家标准,污染指数在050之间时,空气质量为优;在51
100之间时为良;在101
150之间时,为轻微污染;在151
200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.