Question

【题目】（1）证明：；

（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；

（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是

【解析】

（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.

（1）

所以原式得证.

（2）为奇数时，

时，，其中，成立

时，

，其中，成立

时，

，其中，成立，

则当时，

所以得到

因为均为整数，所以也均为整数，

故原式成立；

为偶数时，

时，，其中，

时，

，

其中，成立，

时，

，

其中，成立，

则当时，

所以得到

其中，

因为均为整数，所以也均为整数，

故原式成立；

综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；

（3）由（2）可得

其中均为有理数，

因为为无理数，所以均为无理数，

故为无理数，

所以不是有理数.