题目内容
【题目】已知函数
有两个不同的零点
，
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
(1)根据题意，转化为，
有两个不同的零点
有两个不同的根，
然后利用数形结合求解即可
(2) 由(1)得，
，得
，不妨设
，则结合图象易得
，
，然后，构造函数
（
），利用导数求出该函数的单调性，即可证明结论
（1）有两个不同的零点有两个不同的根.
令，则
，易得
时，
，函数
单调递减；
时，
，函数单调递增.
当
时，
，当
时，
，又
，结合图象可知，要使函数的图象与直线
有两个不同的公共点，则
，所以，实数
的取值范围为.
（2）由(1)得，，不妨设，则结合图象易得，，
令（），
则
，
所以
单调递增，故
，所以
（）.
由条件知
，
又
，
，以及由(1)得，函数在时单调递增，
得
，所以
.
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