题目内容
【题目】对于正整数集合
，如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“可分集合”.
（1）判断集合
和
是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合
一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：
为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.
【答案】（1）集合
不是“可分集合”，集合
是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7
【解析】
（1）根据定义直接判断即可得到结论；
（2）不妨设
，若去掉的元素为
，则有
①，或者
②；若去掉的元素为
，则有
③，或者
④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；
（3）①设集合
所有元素之和为
，由题可知，
均为偶数，因此
均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合
中元素个数
为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当
时，当
时，当
时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.
（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；
（2）不妨设，
若去掉的元素为，将集合
分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；
若去掉的元素为，将集合
分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.
由①、③，得
，矛盾；由①、④，得
，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.
因此当时，集合一定不是“可分集合”；
（3）①设集合所有元素之和为.
由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.
如果为奇数，则也均为奇数，由于
，所以为奇数.
如果为偶数，则均为偶数，此时设
，则
也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.
综上所述，集合中元素个数为奇数.
②当时，显然任意集合
不是“可分集合”.
当时，第（2）问已经证明集合
不是“可分集合”.
当时，集合
，因为：
3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合是“可分集合”.
所以集合中元素个数的最小值是7.
