Question

【题目】已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，

当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，

∴f（x）的最小值为3，即a=3

（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，

∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2

=（p+q+r）2=32=9，

即p2+q2+r2≥3

【解析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2 ， 即可证得．