题目内容
【题目】给出下列条件:①焦点在轴上;②焦点在
轴上;③抛物线上横坐标为
的点
到其焦点
的距离等于
;④抛物线的准线方程是
.
(1)对于顶点在原点的抛物线
:从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线
的方程是
,并说明理由;
(2)过点的任意一条直线
与
交于
,
不同两点,试探究是否总有
?请说明理由.
【答案】(1)选择条件①③;详见解析(2)总有,证明见解析
【解析】
(1)通过焦点位置可判断条件①适合,条件②不适合,通过准线方程,可判断条件④不适合,利用焦半径公式可判断条件③适合;
(2)假设总有,设直线
的方程为
,联立
,利用韦达定理计算
可得结果.
解:(1)因为抛物线的焦点
在
轴上,所以条件①适合,条件②不适合.
又因为抛物线的准线方程为:
,
所以条件④不适合题意,
当选择条件③时,,
此时适合题意,
故选择条件①③时,可得抛物线的方程是
;
(2)假设总有,
由题意得直线的斜率不为
,
设直线的方程为
,
由得
设,
所以恒成立,
,
,
则,
所以,
所以,
综上所述,无论如何变化,总有
.

【题目】某日A, B, C三个城市18个销售点的小麦价格如下表:
销售点序号 | 所属城市 | 小麦价格(元/吨) | 销售点序号 | 所属城市 | 小麦价格(元/吨) |
1 | A | 2420 | 10 | B | 2500 |
2 | C | 2580 | 11 | A | 2460 |
3 | C | 2470 | 12 | A | 2460 |
4 | C | 2540 | 13 | A | 2500 |
5 | A | 2430 | 14 | B | 2500 |
6 | C | 2400 | 15 | B | 2450 |
7 | A | 2440 | 16 | B | 2460 |
8 | B | 2500 | 17 | A | 2460 |
9 | A | 2440 | 18 | A | 2540 |
(Ⅰ)求B市5个销售点小麦价格的中位数;
(Ⅱ)甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦,求甲花费的费用比乙高的概率;
(Ⅲ)如果一个城市的销售点小麦价格方差越大,则称其价格差异性越大.请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序(只写出结果).