题目内容

【题目】给出下列条件:①焦点在轴上;②焦点在轴上;③抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离等于;④抛物线的准线方程是.

1)对于顶点在原点的抛物线:从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线的方程是,并说明理由;

2)过点的任意一条直线交于不同两点,试探究是否总有?请说明理由.

【答案】(1)选择条件①③;详见解析(2)总有,证明见解析

【解析】

1)通过焦点位置可判断条件①适合,条件②不适合,通过准线方程,可判断条件④不适合,利用焦半径公式可判断条件③适合;

2)假设总有,设直线的方程为,联立,利用韦达定理计算可得结果.

解:(1)因为抛物线的焦点轴上,所以条件①适合,条件②不适合.

又因为抛物线的准线方程为:

所以条件④不适合题意

当选择条件③时,

此时适合题意

故选择条件①③时,可得抛物线的方程是

2)假设总有

由题意得直线的斜率不为

设直线的方程为

所以恒成立,

所以

所以

综上所述,无论如何变化,总有.

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